thionline247

1. Ý nghĩa và tầm quan trọng của dạng toán cực trị

Trong giải tích, cực trị của hàm số (gồm cực đại và cực tiểu) là những điểm đặc biệt phản ánh tính chất thay đổi của hàm số. Việc tìm cực trị không chỉ có ý nghĩa lý thuyết trong toán học mà còn ứng dụng rộng rãi trong vật lý, kinh tế, kỹ thuật…

Trong chương trình Toán THPT, dạng toán cực trị có vai trò:

• Giúp học sinh rèn kỹ năng khảo sát sự biến thiên của hàm số.

• Là công cụ giải quyết các bài toán ứng dụng: tối ưu hóa, tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất, chứng minh bất đẳng thức…

• Là dạng câu hỏi “tủ” trong đề thi tốt nghiệp THPTQG, thường chiếm từ 0,5 đến 1 điểm.

2. Các dạng toán cực trị thường gặp trong đề thi

1. Tìm cực trị của hàm số bằng đạo hàm

   • Tính y′y'y′, giải phương trình y′=0y' = 0y′=0 để tìm các điểm nghi ngờ cực trị.

   • Xét dấu đạo hàm hoặc dùng y′′y''y′′ để kết luận.

2. Bài toán liên quan đến tham số

   • Cho hàm số chứa tham số mmm, yêu cầu tìm điều kiện của mmm để hàm số có cực trị, hoặc để cực trị thỏa mãn tính chất đặc biệt (đi qua một điểm, tổng hoành độ cực trị = …).

3. Ứng dụng cực trị để giải toán giá trị lớn nhất – nhỏ nhất

   • Kết hợp với bảng biến thiên để tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng cho trước.

4. Nhận dạng đồ thị hàm số qua cực trị

   • Dựa vào số điểm cực trị, vị trí cực trị để xác định đồ thị đúng trong các phương án trắc nghiệm.

3. Phương pháp giải nhanh trong đề thi trắc nghiệm

• Quy tắc đạo hàm bậc hai:

  • Nếu y′(x0)=0y'(x_0) = 0y′(x0​)=0 và y′′(x0)>0y''(x_0) > 0y′′(x0​)>0 ⇒ x0x_0x0​ là điểm cực tiểu.

  • Nếu y′(x0)=0y'(x_0) = 0y′(x0​)=0 và y′′(x0)<0y''(x_0) < 0y′′(x0​)<0 ⇒ x0x_0x0​ là điểm cực đại.

• Mẹo sử dụng bảng biến thiên: nhanh chóng xác định tính chất hàm số khi đạo hàm có nghiệm.

• Trường hợp bậc ba, bậc bốn đơn giản: có thể áp dụng cách tách nhân tử để giải nhanh mà không cần giải quá dài dòng.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm số y=x3−3x+2y = x^3 - 3x + 2y=x3−3x+2.

• Ta có y′=3x2−3=3(x2−1)=3(x−1)(x+1)y' = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)y′=3x2−3=3(x2−1)=3(x−1)(x+1).

• Suy ra y′=0y' = 0y′=0 ⇔ x=−1x = -1x=−1 hoặc x=1x = 1x=1.

• y′′=6xy'' = 6xy′′=6x.

  • Với x=−1x = -1x=−1, y′′=−6<0y'' = -6 < 0y′′=−6<0 ⇒ cực đại tại x=−1x = -1x=−1, giá trị cực đại: y(−1)=4y(-1) = 4y(−1)=4.

  • Với x=1x = 1x=1, y′′=6>0y'' = 6 > 0y′′=6>0 ⇒ cực tiểu tại x=1x = 1x=1, giá trị cực tiểu: y(1)=0y(1) = 0y(1)=0.

Ví dụ 2 (có tham số): Tìm mmm để hàm số y=x3−3mxy = x^3 - 3mxy=x3−3mx có 2 điểm cực trị.

• Ta có y′=3x2−3my' = 3x^2 - 3my′=3x2−3m.

• Để có 2 điểm cực trị ⇔ phương trình 3x2−3m=03x^2 - 3m = 03x2−3m=0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ m>0m > 0m>0.

5. Kinh nghiệm làm bài trong phòng thi

• Luôn nhớ quy trình: đạo hàm → giải phương trình đạo hàm = 0 → xét dấu.

• Cẩn thận với câu hỏi có tham số, nên phân tích điều kiện trước khi giải.

• Với đề trắc nghiệm, ưu tiên loại trừ phương án sai nhanh chóng bằng bảng biến thiên hoặc xét dấu đạo hàm thay vì giải chi tiết.

• Ôn tập các dạng bài trong đề thi các năm trước để nắm chắc xu hướng ra đề.

6. Kết luận

Dạng toán cực trị của hàm số là một phần quan trọng trong chương trình Toán phổ thông và trong đề thi THPTQG. Nắm vững lý thuyết, kết hợp với phương pháp giải nhanh, học sinh có thể dễ dàng chinh phục dạng bài này, góp phần nâng cao điểm số trong kỳ thi quan trọng.